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Matheproblem
#321761
05/02/10 04:48
05/02/10 04:48
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Joined: Mar 2002
Posts: 1,774 Magdeburg
FlorianP
OP
Serious User
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OP
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Joined: Mar 2002
Posts: 1,774
Magdeburg
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Hi
Ich muss nächste Woche einen Vortrag halten und habe dabei ein kleines Problem aus dem Gebiet der Analysis. Mein Vorlesungsskript ist diesbezüglich leider ziemlich missverständlich und kurz gehalten, daher würde ich mich sehr freuen wenn jemand meine Fragen beantworten kann oder evtl. ein paar Sätze kennt die mir weiterhelfen würden.
Ich brauche den Grenzwert der Folge ((3n - 2) / (3n + 1))^2n
Meine Lösung ist 1 / e² und ich bin recht zuversichtlich, dass das korrekt ist, allerdings befinden sich in meinem Lösungsweg einige 'eher fragwürdige' Schritte.
Schritt 1: setzen von 3n = z
ergibt
((z - 2) / (z + 1))^ 2/3 z
Schritt 2: Im unendlichen ist nur die Differenz von Zähler und Nenner relevant (? kann ich das einfach so annehmen?)
d.h. ich behaupte (lim n->oo) ((z - 2) / (z + 1)) ^ 2/3 z = (lim n->oo) ((z - 3) / (z)) ^ 2/3 z -> die Differenz bleibt 3
Anschauungsbeispiel: für z = 100 wären das 98/101 und 97/100 jeweils hoch 100 Beide unterscheiden sich erst nach mehreren Dezimalstellen
Schritt 3:
umstellen der Folge.
(1 - 3 / z) ^ 2/3 z
ergäbe für z = 100 wieder
100/100 - 3/100 = 97/100
Schritt 4:
Diese Folge erinnert stark an die bekannte Folge:
(lim n->oo) (1 + 1/x)^x = e Wir nähern uns also von oben an 1 an und potenzieren mit x
nähern wir uns jetzt von unten an 1 an erhalten wir
(lim n->oo) (1 - 1/x)^x = 1/e (? wie kann ich dafür Nachweis führen?)
Ich behaupte:
(lim n->oo) (1 - 3 / z) ^ 2/3 z = (lim n->oo) (1 - 1 / z) ^ 2 z = 1/e² ('kürzen' der 3) (? und auch hier wieder - wie kann ich dafür Nachweis führen?)
Ich hab das ganze mit diversen 'sehr großen' Zahlen durchgespielt und die Ergebnisse passen soweit. D.h. ich gehe davon aus, dass meinen Umformungen (im Zweifel nur an dem Beispiel) soweit möglich sind.
MfG Florian
I <3 LINQ
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Re: Matheproblem
[Re: FlorianP]
#321780
05/02/10 10:47
05/02/10 10:47
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Joined: Sep 2003
Posts: 6,861 Kiel (Germany)
Superku
Senior Expert
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Senior Expert
Joined: Sep 2003
Posts: 6,861
Kiel (Germany)
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Ein Tipp: Niemals (!) Beispiele bei solchen Situationen verwenden, dann weiß der Dozent sofort, dass du es nicht direkt beweisen kannst.
"Im unendlichen ist nur die Differenz von Zähler und Nenner relevant (? kann ich das einfach so annehmen?)" Daran hab ich große Zweifel, auch wenn es zu funktionieren scheint.
"(lim n->oo) (1 - 1/x)^x = 1/e (? wie kann ich dafür Nachweis führen?)" Es gilt: (lim n->oo) (1 + a/x)^x = e^a und für a = -1 erhälst du 1/e. (Such mal nach der exp-Funktion.)
"(lim n->oo) (1 - 3 / z) ^ 2/3 z = (lim n->oo) (1 - 1 / z) ^ 2 z = 1/e² ('kürzen' der 3) (? und auch hier wieder - wie kann ich dafür Nachweis führen?)" Ähm was passiert da? Wie hast du """gekürzt""" ?
Last edited by Superku; 05/02/10 10:48.
"Falls das Resultat nicht einfach nur dermassen gut aussieht, sollten Sie nochmal von vorn anfangen..." - Manual Check out my new game: Pogostuck: Rage With Your Friends
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Re: Matheproblem
[Re: Superku]
#321793
05/02/10 12:40
05/02/10 12:40
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Joined: Jan 2003
Posts: 4,615 Cambridge
Joey
Expert
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Expert
Joined: Jan 2003
Posts: 4,615
Cambridge
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Das ist kein Beweis, zu viele Lücken und zu ungenau.
Ich nenne deine Folge mal a_n, e_n sei dann die bekannte Folgendarstellung der Expoentialfunktion: e_n := (1 + 1/n)^n Dann ist 1/e_n := (n/(1+n))^n eine Folge, die gegen 1/e konvergiert (s. Bemerkung).
Bem.: Wenn eine Folge konvergiert, dann konvergiert auch z.B. die Wurzel aus der Folge gegen die Wurzel des Grenzwertes (funktioniert mit den meisten Rechenoperationen). Du kannst also der Einfachheit halber bei dir die 2 aus der Potenz nehmen und beweisen, dass es gegen 1/e konvergiert.
1. Konvergenz der Folge beweisen Das geht gut über "begrenzt & monoton => konvergent".
2. Grenzwert ausrechnen a) ((3n-2)/(3n+1))^n wird zu ((b-2)/(b+1))^(b/3) mit b = 3n b) Die Folge ((b-2)/(b+1))^b konvergiert gegen 1/e^3, denn ((b-2)/(b+1))^b = (b+1)/(b-2) * ((b-2)/(b+1))^(b+1). Hier können wir den ersten Term vergessen (konvergiert gegen 1). Dann ist ((b-2)/(b+1))^(b+1) = (c-3)/c)^c mit c = b+1 (das ist jetzt sauber begründet). Und ((c-3)/c)^c)^3 = ((c-3)/c)^(c/3) = (3d/(3d-3))^(1/3) * ((3d-3)/3d)^d mit c = 3d und (3d/(3d-3))^(1/3) * ((3d-3)/3d)^d = (d/(d-1))^(1/3) * ((d-1)/d)^d. Hier konvergieren beide Folgen separat, die vordere gegen 1, die hintere stellen wir noch um zu (f/(f+1))^(f+1) mit f = d-1. Diese konvergiert gegen 1/e (selbe Begründung, siehe oben).
=> Beh.
Kleiner Tipp: rechne nie mit Limites rum, wenn du die Existenz noch nicht bewiesen hast.
Gruß, Joey
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