Posted By: Superku
Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 02:35
Da ich in naher Zukunft ein Seminar über ein gewisses Numerik-Thema halten muss, soll jeder teilnehmende Student am nächsten Montag einen Probevortrag von 7 Minuten Länge halten.
Es geht dabei (fast) nur um die Art der Präsentation, die Einleitung usw., dementsprechend sind die Themen eher leichte Kost. Umso peinlicher ist es aber, wenn der Inhalt fehlerhaft ist.
Daher die Bitte, an Joey, Error oder sonstwen, die pdf kurzerhand auf Inhalt zu überprüfen (bei der letzten Abschätzung hatte ich offensichtlich keine Lust mehr - soweit komme ich aber eh nicht in 7min).
Wer sich mit der Thematik nicht auskennt, aber interessiert ist, kann sich das Blatt gern trotzdem angucken.
Fixpunktsatz von Banach Danke!
EDIT: Mir ist gerade nicht mehr klar, warum ich d(x,x_n) = lim_m d(x_m,x_n) geschrieben habe. Stimmt das (weshalb)?
Posted By: Joey
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 14:52
Hey,
sehr sauber erklärt alles. Ich finde auch keinen Fehler. d(x,x_n) = lim_m d(x_m,x_n) ist richtig so, da die Metrik selber offenbar stetig ist.
Gruß,
Joey
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 19:26
Sieht gut aus.
Die letzte Abschätzung der a-priori kann man aber wohl auch aus der ersten Abschätzung (Anfang Seite 2) erhalten, wenn man überall den Grenzwert m->infinity bildet -- dabei ist natürlich die Stetigkeit der Metrik angenommen [Klar dauert das länger als die neue, aber wenn man sie schon gemacht hat, kann man sie ja auch benutzen]
Gibt es überhaupt Kontraktionen (auf dem ganzen raum, nicht nur auf Teilmengen), wenn die Metrik nicht stetig ist?
Der Beweis der a-posteriori-Abschäatzung bleibt dem interessierten Leser als Übung überlassen.
Posted By: Joey
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 20:53
jede metrik ist stetig, das folgt aus der vierecksungleichung, oder?
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 21:12
Aber:
d(x,y) := 0, für x=y
d(x,y) := 1, x =/= y
erfüllt die Bedingungen. Andrerseits gilt zb in R für x_n = x + 1/n für alle n:
d(x_n,y) = 0
Aber: d(lim n x_n , y) = d(y,y)=1
Also kann diese Metrik nicht stetig sein?
EDIT: Korrektur von Superku hinzugefügt. Wie ist der Fehler überhaupt passiert?
Posted By: Superku
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 21:17
Danke Error, genau bei dieser diskreten Metrik hatte ich bedenken (du musst aber in deiner Definition 1 und 0 vertauschen, sonst verstößt du gegen das erste Metrik-Axiom).
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 21:27
Du hast natürlich Recht. Das kommt davon, wenn man seine Posts nicht nochmal durchliest! Ist korrigiert.
~~~~
Für diese Metrik gilt definitv der Schritt mit dem lim nicht, aber die Herleitung wie am Anfang auf Seite 2 sollte noch funktionieren.
EDIT: Quatsch. Vergesst das.
Ich bin aber nach wie vor nicht sicher, ob auf diskreten Metriken überhaupt Kontraktionen existieren können? Sonst brauchen wir uns ja nicht um den Fall kümmern.
'ne Idee, wie man das beweisen/widerlegen könnte?
Posted By: Superku
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 21:41
Habe mir gerade folgendes überlegt: Existiert eine Kontraktion f auf einem diskreten metrischen Raum, so ist f konstant (und besitzt somit einen Fixpunkt). Damit ist der Fall der diskreten Metrik also abgehandelt. (?)
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 21:58
Muss f konstant sein? Warum? (Es macht schon Sinn für meine Begriffe, aber ich wüßte keinen logisch zwingenden Grund)
Wenn f konstant wäre, ist die Nummer ja eh schnell erledigt.
Posted By: Superku
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/17/10 22:22
Das hatte ich mir vorhin überlegt:
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/18/10 00:05
Ah, stimmt. lambda muss ja echt kleiner 1 sein.
Allerdings hilft das nur für diese und ähnlich geartete Metriken.
Welche anderen nichtstetigen Metriken könnten wir uns denken? Oder lassen sich all diese Fälle auf die bisherigen zurückführen?
Was ist z.B. mit
dem hier?[Ich mag meine Rolle: Einfach nur Sachen fragen :D]
Posted By: Superku
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/18/10 00:23
Allerdings hilft das nur für diese und ähnlich geartete Metriken.
Welche anderen nichtstetigen Metriken könnten wir uns denken? Oder lassen sich all diese Fälle auf die bisherigen zurückführen?
Genau das ist der Punkt. :<
Ach die Eisenbahnmetrik... die konnte ich früher schon nicht leiden.

Ich frage mich gerade, wie man die Stetigkeit einer Metrik misst? Geht das überhaupt?
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/18/10 00:48
Ich würd Stetigkeit in beiden Argumenten fordern, also dass für alle Folgen x_n -> x, y_n -> y gilt:
lim n,m d(x_n,y_m) = d(x,y)
Daraus folgt es dann auch für beide Argumente einzeln gelten muss.
Immerhin ist das ja auch genau die Eigenschaft, die du im Beweis forderst.
~~
Ob das nun wirklich so definiert ist, weiß ich nicht. Aber wir können festhalten, dass es so Sinn machen würde.

Vll. kann man das mit irgendwelchen Grenzwertsätzen und -rechenregeln dann wieder nur auf ein Argument (reicht wg. Symmetrie) reduzieren.
Posted By: Joey
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/18/10 08:45
Ich glaube ihr seht das mit dem stetig etwas krumm an ^^. Es ist nicht so, dass du eine stetige Funktion hast, die Metrik änderst (z.B. zur trivialen Metrik) und dann sagst, dass die Funktion noch stetig ist. Das ganze ist eher anderstrum: die Metrik definiert dir eine Topologie, bezüglich derer Funktionen dann stetig sind. Stetigkeit ist ein topologischer Begriff: eine Funktion ist genau dann stetig, wenn jedes Urbild einer offenen Menge selbst offen ist (bzgl. den entsprechenden Topologien).
Sprich: wenn ihr die triviale Metrik habt, die Error oben nennt, dann ist jede Menge U aus IR^2 offen, denn:
Sei U aus IR^2 beliebig, x aus U. zz: es ex. e > 0 : U_e(x) noch in U. Wähle e = 1/2, dann ist U_e(x) = {x} aus U. Damit folgt die Behauptung.
Daraus folgt unter anderem, dass jede Funktion stetig ist.
Eine Sache, die man allerdings betrachten muss, ist, dass IR^2 bzgl. der diskreten Metrik nicht mehr vollständig ist, d.h. z.B. 0,1/2,0,1/2,0,1/2,... ist zwar CF, aber nicht konvergent. Sorry das ist Bullshit. Natürlich ist bzgl. der diskreten Metrik jeder Raum vollständig. Dennoch: du schließt in deinen Voraussetzungen die Probleme also durch die Forderung der Vollständigkeit aus.
Also wie gesagt: In einem metrischen Raum ist die Metrik selbst IMMER stetig, das folgt aus der Vierecksungleichung, welche aus der Dreiecksungleichung folgt.
Joey.
Posted By: Error014
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/18/10 13:27
Korrektur zu meinem Beitrag #350644:
In der diskreten Metrik konvergiert die Folge x_n = x + 1/n ja gar nicht gegen x (da sie dann keine Cauchyfolge ist).
~~~
Wenn Joey den Beweis mal gesehen (oder selbst gemacht) hat, dann wirds wohl stimmen. Dann wär alles geklärt, oder?
Posted By: Superku
Re: Fixpunktsatz von Banach - 12/18/10 14:01
die Metrik definiert dir eine Topologie
Stimmt, das dürfte des Rätsels Lösung sein. Ich danke euch.