Hi

Ich muss nächste Woche einen Vortrag halten und habe dabei ein kleines Problem aus dem Gebiet der Analysis.
Mein Vorlesungsskript ist diesbezüglich leider ziemlich missverständlich und kurz gehalten, daher würde ich mich sehr freuen wenn jemand meine Fragen beantworten kann oder evtl. ein paar Sätze kennt die mir weiterhelfen würden.


Ich brauche den Grenzwert der Folge ((3n - 2) / (3n + 1))^2n

Meine Lösung ist 1 / e² und ich bin recht zuversichtlich, dass das korrekt ist, allerdings befinden sich in meinem Lösungsweg einige 'eher fragwürdige' Schritte.

Schritt 1:
setzen von 3n = z

ergibt

((z - 2) / (z + 1))^ 2/3 z

Schritt 2:
Im unendlichen ist nur die Differenz von Zähler und Nenner relevant (? kann ich das einfach so annehmen?)

d.h. ich behaupte (lim n->oo) ((z - 2) / (z + 1)) ^ 2/3 z = (lim n->oo) ((z - 3) / (z)) ^ 2/3 z
-> die Differenz bleibt 3

Anschauungsbeispiel:
für z = 100 wären das
98/101 und 97/100 jeweils hoch 100
Beide unterscheiden sich erst nach mehreren Dezimalstellen

Schritt 3:

umstellen der Folge.

(1 - 3 / z) ^ 2/3 z

ergäbe für z = 100 wieder

100/100 - 3/100 = 97/100


Schritt 4:

Diese Folge erinnert stark an die bekannte Folge:

(lim n->oo) (1 + 1/x)^x = e
Wir nähern uns also von oben an 1 an und potenzieren mit x

nähern wir uns jetzt von unten an 1 an erhalten wir

(lim n->oo) (1 - 1/x)^x = 1/e
(? wie kann ich dafür Nachweis führen?)

Ich behaupte:

(lim n->oo) (1 - 3 / z) ^ 2/3 z = (lim n->oo) (1 - 1 / z) ^ 2 z = 1/e² ('kürzen' der 3)
(? und auch hier wieder - wie kann ich dafür Nachweis führen?)

Ich hab das ganze mit diversen 'sehr großen' Zahlen durchgespielt und die Ergebnisse passen soweit. D.h. ich gehe davon aus, dass meinen Umformungen (im Zweifel nur an dem Beispiel) soweit möglich sind.

MfG
Florian

Ein Tipp: Niemals (!) Beispiele bei solchen Situationen verwenden, dann weiß der Dozent sofort, dass du es nicht direkt beweisen kannst.

"Im unendlichen ist nur die Differenz von Zähler und Nenner relevant (? kann ich das einfach so annehmen?)"
Daran hab ich große Zweifel, auch wenn es zu funktionieren scheint.

"(lim n->oo) (1 - 1/x)^x = 1/e
(? wie kann ich dafür Nachweis führen?)"
Es gilt: (lim n->oo) (1 + a/x)^x = e^a und für a = -1 erhälst du 1/e. (Such mal nach der exp-Funktion.)

"(lim n->oo) (1 - 3 / z) ^ 2/3 z = (lim n->oo) (1 - 1 / z) ^ 2 z = 1/e² ('kürzen' der 3)
(? und auch hier wieder - wie kann ich dafür Nachweis führen?)"
Ähm was passiert da? Wie hast du """gekürzt""" ?

Das ist kein Beweis, zu viele Lücken und zu ungenau.

Ich nenne deine Folge mal a_n, e_n sei dann die bekannte Folgendarstellung der Expoentialfunktion:
e_n := (1 + 1/n)^n
Dann ist 1/e_n := (n/(1+n))^n eine Folge, die gegen 1/e konvergiert (s. Bemerkung).

Bem.: Wenn eine Folge konvergiert, dann konvergiert auch z.B. die Wurzel aus der Folge gegen die Wurzel des Grenzwertes (funktioniert mit den meisten Rechenoperationen). Du kannst also der Einfachheit halber bei dir die 2 aus der Potenz nehmen und beweisen, dass es gegen 1/e konvergiert.

1. Konvergenz der Folge beweisen
Das geht gut über "begrenzt & monoton => konvergent".

2. Grenzwert ausrechnen
a) ((3n-2)/(3n+1))^n wird zu ((b-2)/(b+1))^(b/3) mit b = 3n
b) Die Folge ((b-2)/(b+1))^b konvergiert gegen 1/e^3, denn
((b-2)/(b+1))^b = (b+1)/(b-2) * ((b-2)/(b+1))^(b+1). Hier können wir den ersten Term vergessen (konvergiert gegen 1). Dann ist ((b-2)/(b+1))^(b+1) = (c-3)/c)^c mit c = b+1 (das ist jetzt sauber begründet).
Und ((c-3)/c)^c)^3 = ((c-3)/c)^(c/3) = (3d/(3d-3))^(1/3) * ((3d-3)/3d)^d mit c = 3d
und (3d/(3d-3))^(1/3) * ((3d-3)/3d)^d = (d/(d-1))^(1/3) * ((d-1)/d)^d.
Hier konvergieren beide Folgen separat, die vordere gegen 1, die hintere stellen wir noch um zu (f/(f+1))^(f+1) mit f = d-1. Diese konvergiert gegen 1/e (selbe Begründung, siehe oben).

=> Beh.

Kleiner Tipp: rechne nie mit Limites rum, wenn du die Existenz noch nicht bewiesen hast.

Gruß,
Joey

Vielen Dank.

Was ists denn für ne Vorlesung?