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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350657
12/17/10 22:22
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Das hatte ich mir vorhin überlegt:



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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Superku] #350664
12/18/10 00:05
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Ah, stimmt. lambda muss ja echt kleiner 1 sein.

Allerdings hilft das nur für diese und ähnlich geartete Metriken.

Welche anderen nichtstetigen Metriken könnten wir uns denken? Oder lassen sich all diese Fälle auf die bisherigen zurückführen?

Was ist z.B. mit dem hier?


[Ich mag meine Rolle: Einfach nur Sachen fragen :D]


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350666
12/18/10 00:23
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Quote:
Allerdings hilft das nur für diese und ähnlich geartete Metriken.

Welche anderen nichtstetigen Metriken könnten wir uns denken? Oder lassen sich all diese Fälle auf die bisherigen zurückführen?

Genau das ist der Punkt. :<
Ach die Eisenbahnmetrik... die konnte ich früher schon nicht leiden. wink
Ich frage mich gerade, wie man die Stetigkeit einer Metrik misst? Geht das überhaupt?


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Superku] #350669
12/18/10 00:48
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Ich würd Stetigkeit in beiden Argumenten fordern, also dass für alle Folgen x_n -> x, y_n -> y gilt:

lim n,m d(x_n,y_m) = d(x,y)

Daraus folgt es dann auch für beide Argumente einzeln gelten muss.

Immerhin ist das ja auch genau die Eigenschaft, die du im Beweis forderst.

~~

Ob das nun wirklich so definiert ist, weiß ich nicht. Aber wir können festhalten, dass es so Sinn machen würde. grin

Vll. kann man das mit irgendwelchen Grenzwertsätzen und -rechenregeln dann wieder nur auf ein Argument (reicht wg. Symmetrie) reduzieren.


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350686
12/18/10 08:45
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Ich glaube ihr seht das mit dem stetig etwas krumm an ^^. Es ist nicht so, dass du eine stetige Funktion hast, die Metrik änderst (z.B. zur trivialen Metrik) und dann sagst, dass die Funktion noch stetig ist. Das ganze ist eher anderstrum: die Metrik definiert dir eine Topologie, bezüglich derer Funktionen dann stetig sind. Stetigkeit ist ein topologischer Begriff: eine Funktion ist genau dann stetig, wenn jedes Urbild einer offenen Menge selbst offen ist (bzgl. den entsprechenden Topologien).
Sprich: wenn ihr die triviale Metrik habt, die Error oben nennt, dann ist jede Menge U aus IR^2 offen, denn:
Sei U aus IR^2 beliebig, x aus U. zz: es ex. e > 0 : U_e(x) noch in U. Wähle e = 1/2, dann ist U_e(x) = {x} aus U. Damit folgt die Behauptung.
Daraus folgt unter anderem, dass jede Funktion stetig ist.
Eine Sache, die man allerdings betrachten muss, ist, dass IR^2 bzgl. der diskreten Metrik nicht mehr vollständig ist, d.h. z.B. 0,1/2,0,1/2,0,1/2,... ist zwar CF, aber nicht konvergent. Sorry das ist Bullshit. Natürlich ist bzgl. der diskreten Metrik jeder Raum vollständig. Dennoch: du schließt in deinen Voraussetzungen die Probleme also durch die Forderung der Vollständigkeit aus.
Also wie gesagt: In einem metrischen Raum ist die Metrik selbst IMMER stetig, das folgt aus der Vierecksungleichung, welche aus der Dreiecksungleichung folgt.

Joey.

Last edited by Joey; 12/18/10 10:06.
Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Joey] #350703
12/18/10 13:27
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Korrektur zu meinem Beitrag #350644:

In der diskreten Metrik konvergiert die Folge x_n = x + 1/n ja gar nicht gegen x (da sie dann keine Cauchyfolge ist).

~~~

Wenn Joey den Beweis mal gesehen (oder selbst gemacht) hat, dann wirds wohl stimmen. Dann wär alles geklärt, oder? grin


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350707
12/18/10 14:01
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Quote:
die Metrik definiert dir eine Topologie

Stimmt, das dürfte des Rätsels Lösung sein. Ich danke euch.


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