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Fixpunktsatz von Banach #350564
12/17/10 02:35
12/17/10 02:35
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Da ich in naher Zukunft ein Seminar über ein gewisses Numerik-Thema halten muss, soll jeder teilnehmende Student am nächsten Montag einen Probevortrag von 7 Minuten Länge halten.
Es geht dabei (fast) nur um die Art der Präsentation, die Einleitung usw., dementsprechend sind die Themen eher leichte Kost. Umso peinlicher ist es aber, wenn der Inhalt fehlerhaft ist.
Daher die Bitte, an Joey, Error oder sonstwen, die pdf kurzerhand auf Inhalt zu überprüfen (bei der letzten Abschätzung hatte ich offensichtlich keine Lust mehr - soweit komme ich aber eh nicht in 7min).

Wer sich mit der Thematik nicht auskennt, aber interessiert ist, kann sich das Blatt gern trotzdem angucken.

Fixpunktsatz von Banach

Danke!

EDIT: Mir ist gerade nicht mehr klar, warum ich d(x,x_n) = lim_m d(x_m,x_n) geschrieben habe. Stimmt das (weshalb)?

Last edited by Superku; 12/17/10 02:40.

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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Superku] #350603
12/17/10 14:52
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Hey,

sehr sauber erklärt alles. Ich finde auch keinen Fehler. d(x,x_n) = lim_m d(x_m,x_n) ist richtig so, da die Metrik selber offenbar stetig ist.

Gruß,
Joey

Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Joey] #350627
12/17/10 17:15
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Danke Joey.


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Superku] #350634
12/17/10 19:26
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Sieht gut aus.

Die letzte Abschätzung der a-priori kann man aber wohl auch aus der ersten Abschätzung (Anfang Seite 2) erhalten, wenn man überall den Grenzwert m->infinity bildet -- dabei ist natürlich die Stetigkeit der Metrik angenommen [Klar dauert das länger als die neue, aber wenn man sie schon gemacht hat, kann man sie ja auch benutzen]
Gibt es überhaupt Kontraktionen (auf dem ganzen raum, nicht nur auf Teilmengen), wenn die Metrik nicht stetig ist?


Quote:

Der Beweis der a-posteriori-Abschäatzung bleibt dem interessierten Leser als Übung überlassen.


wink


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350642
12/17/10 20:53
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jede metrik ist stetig, das folgt aus der vierecksungleichung, oder?

Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Joey] #350644
12/17/10 21:12
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Aber:

d(x,y) := 0, für x=y
d(x,y) := 1, x =/= y

erfüllt die Bedingungen. Andrerseits gilt zb in R für x_n = x + 1/n für alle n:

d(x_n,y) = 0

Aber: d(lim n x_n , y) = d(y,y)=1

Also kann diese Metrik nicht stetig sein?

EDIT: Korrektur von Superku hinzugefügt. Wie ist der Fehler überhaupt passiert? grin


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350645
12/17/10 21:17
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Danke Error, genau bei dieser diskreten Metrik hatte ich bedenken (du musst aber in deiner Definition 1 und 0 vertauschen, sonst verstößt du gegen das erste Metrik-Axiom).


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Superku] #350646
12/17/10 21:27
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Du hast natürlich Recht. Das kommt davon, wenn man seine Posts nicht nochmal durchliest! Ist korrigiert.

~~~~

Für diese Metrik gilt definitv der Schritt mit dem lim nicht, aber die Herleitung wie am Anfang auf Seite 2 sollte noch funktionieren.

EDIT: Quatsch. Vergesst das.

Ich bin aber nach wie vor nicht sicher, ob auf diskreten Metriken überhaupt Kontraktionen existieren können? Sonst brauchen wir uns ja nicht um den Fall kümmern.

'ne Idee, wie man das beweisen/widerlegen könnte?



Last edited by Error014; 12/17/10 21:29.

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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Error014] #350650
12/17/10 21:41
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Habe mir gerade folgendes überlegt: Existiert eine Kontraktion f auf einem diskreten metrischen Raum, so ist f konstant (und besitzt somit einen Fixpunkt). Damit ist der Fall der diskreten Metrik also abgehandelt. (?)


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Re: Fixpunktsatz von Banach [Re: Superku] #350654
12/17/10 21:58
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Muss f konstant sein? Warum? (Es macht schon Sinn für meine Begriffe, aber ich wüßte keinen logisch zwingenden Grund)

Wenn f konstant wäre, ist die Nummer ja eh schnell erledigt.


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